निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,int_{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x$ ..... $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x$ ..... $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{5}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{5}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{5}(\frac{\pi}{2}-x)} d x$चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$ और $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{5} x}{\cos ^{5} x+\sin ^{5} x} d x$ ..... $(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{5} x + \sin ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x$$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d x$$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$2I = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$I = \frac{\pi}{4}$

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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